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高考导数题巧妙构造解题探究
www.zgxzw.com  2017/11/20 9:52:31  来源:本站
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岳阳市云溪区第一中学高三352班   杨一凡


类型一:从式子结构上探究


函数与导数结合的问题中,很多时候需要自己去构造函数,构造的关键是通过条件如何去构造,在导数中常通过式子的结构利用相关公式法则进行构造。


【例题1:2015课标2理12】设函数f(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(      )


A.(-∞,-1)U(0,1)       B.(-1,0)U(1,+∞)          C.(-∞,-1)U(-1,0)  D.(0,1)U(1,+∞)


【思维过程】依题意,可构造函数g(x)=,则g(x)=,因为当x>0时,xf(x)-f(x)<0,故当x>0时,g(x)<0,所以g(x)在(1,+∞) 单调递减;又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数,故函数g(x)是偶函数,所以g(x)在(-∞,0)单调递减,且g(-1)=g(1)=0.当0<x<1时,g(x)>0,则f(x)>0;当x<-1时,g(x)<0,则f(x)>0,综上所述,使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-f∞,-1)U(0,1),故选A


【方法感悟】本例题中式子的结构恰好是对求导后的形式,因此可构造函数g(x)=。


类型二:通过换元或选主元法构造


换元法是高中数学中常用的一种方法,换元可以达到减少变量个数的目的,从新的变量找到构造突破口,从而达到破解难题的目的。选主元法是多元问题选择其中的一个为主元,将其他变元作为常数是处理和解决多元问题的重要方法。


【例题2:2013·陕西高考理科·T21(3)】已知函数f(x)=e,x∈R. 设a<b,比较与的大小,并说明理由。


【解析】方法一:换元法构造函数:


作差: -===e构造函数:t(x)=x+2+(x-2)e,(x>0)则t(x)=1+(1+x-2)e=1+(x-1)e,t(x)的导函数t(x)=(1+x-1)e=x.e>0,所以t(x)在(0,+∞) 上单调递增,故t(x)>t(0)=0,∴t(x)在(0,+∞)上单调递增,而t(x)>t(0)=0,∴当x>0时,t(x)=x+2+(x-2).e>0,令x=b-a,∴e>0所以当a<b时,>.


方法二:选主元法构造


作差:-==


构造函数:h(x)=(x-a)(e+e)-2(e-e)(x>a),h(x)=(x-a-1)e+e(x>a),h'(x)=(x-a)e>0,∴h(x)在(a,+∞)上单调递增。


h(x)>h(a)=-e+e=0,∴h(x)在(a,+∞)上单调递增。∴h(x)>h(a)=0☉b∴h(b)>h(a)∴(b-a)(e+e)-2(e-e)>0,即(b-a)[f(b)+f(a)]>2[f(b)-f(a)],所以当a<b时,>.


【方法感悟】通过换元将二元不等式转化为一元不等式后再构造函数是常见的处理方法。二元函数选取其中任一个变元作为主元后构造函数,是一种构造函数的重要手段,而且解题过程简洁、清晰,是一种很好的方法。两法有一些共同点,值得学习掌握。


类型三:分离变量法构造


分离变量法是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端,使两端变量各自相同,解题的关键:分离变量之后将问题转化为判断函数的单调性或最值的一些问题。


【例题3:】若0<x<x<1,证明:xe>xe


【解析】要证xe>xe等价于证明>。


可构造函数f(x)=,则f(x)=,当x∈(0.1),时 f(x)<0,f(x)为减函数,故当0<x<x<1时,有f(x)<f(x),即xe>xe。


【方法感悟】本题中分离变量之后,使>成立,将问题转化为构造函数f(x)=,再通过求导判断单调性的问题得出结论。


指导老师:杨云




 
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